Fig. 1 Coupling of sub-structures A and B, forming structure C From the equilibrium of forces and the compatibility conditions of displacements one can write: A B C i i i f f f (1) A B C j j j x x x (2) The receptance matrices Hrelating the amplitudes of the forces to the amplitudes of the displacements are defined as X = HF (3) and therefore, the receptance matrices for sub-structures A and B and for structure C are: A A ii ij A A A ji jj ª º « » « » ¬ ¼ H H H H H ; B B jj jk B B B kj kk ª º « » « » ¬ ¼ H H H H H ; C C C ii ij ik C C C C ji jj jk C C C ki kj kk ª º « » « » « » ¬ ¼ H H H H H H H H H H (4) Using equations (1) and (2), one obtains the receptance matrix for C [11]: 1 1 1 A A ii ij C A A B B ji jj jj jk B B kj kk § · ª º ª º ª º ¨ ¸ « » « » « » ¨ ¸ ª º « » « » « » ¬ ¼ ¨ ¸ « » « » « » ¨ ¸ « » ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ © ¹ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H H H H H H H H H (5) The process of inverting three matrices requires – in general – a high computational effort, implying a strong possibility of encountering ill-conditioned matrices. To try and minimize this problem an alternative formulation is often used [12]: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A A A A A A A B ii ij ij jj ji ij jj jj ij jj jk C A A A A A A A B ji jj jj jj ji jj jj jj jj jj jk B B A B A B B kk kj jj ji kj jj jj kj jj jk ª º ª º « » « » « » « » « » « » ¬ ¼ ¬ ¼ 0 0 0 0 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H HHH HHH HHH (6) where A B jj jj jj H H H . In a simpler way, one can write: 1 C C C A A A ii ij ik ii ij ij C C C A A A A B A A B ji jj jk ji jj jj jj jj ji jj jk C C C B B ki kj kk kk kj ª º ª º ª º « » « » « » ª º « » « » « » ¬ ¼ « » « » « » ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ 0 0 0 0 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H (7) 384
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